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拿骰子游戏中的数学原理
游戏高手速成班：用数学玩转“拿骰子”，让你立于不败之地！
你是否曾在聚会或休闲时玩过这样一个小游戏：桌上摆着几堆石子（或骰子、硬币），两个人轮流从中取物，每次只能从一堆里拿，数量不限，谁拿到最后一个谁就赢了。
这个看似简单的游戏，其实背后隐藏着精妙的数学原理。它在博弈论中被称为“尼姆游戏”（Nim Game）。今天，我们就以一个经典布局——三行分别为 3, 5, 7 个骰子——为例，为你揭示其中的必胜秘诀。无论你是想赢得游戏，还是想给朋友们秀一把“神机妙算”，这篇文章都是你的终极指南！
异或(XOR)
在正式开始游戏前，我们先介绍一下什么是 Nim 和，也就是异或(XOR): 异或（XOR）是一种按位的运算：逐个二进制位比较，相同为0，不同为1。你可以把它理解成“二进制不进位加法”或“每一列数1的个数，奇数写1、偶数写0”。
怎么按位算
单个位的规则：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0。 多位数：把数写成二进制，按位应用上面的规则即可。 两种心法
不进位加法：像加法那样逐位相加，但完全不产生进位。 奇偶计数：在每一位上数1的个数，奇数个就写1，偶数个写0。
在了解了如何计算 XOR 后我们正式开始游戏。
米赛尔 Nim
标准的 Nim 游戏是最后一个拿完的人获胜，但是这种玩法先手有必胜的法则，为了公平起见，现在大部分玩的都是米赛尔 Nim，即最后拿完的玩家为输，这样后手玩家在先手玩家失误的情况下是能够反败为胜的。要点只有一个：除了一种临门一脚的例外，其余时候完全按普通 Nim 下法来走。
结论
- 3,5,7 的开局在“先拿完者输”的规则下，先手依然有必胜法。
通用策略
- 只要局面里还存在至少一堆大于 1，就按普通 Nim 操作：把三堆大小做异或 S；在某一堆 a 上把它减到 a⊕S（一定更小），使总异或变为 0。
- 例外（临门一脚）：当只剩下一堆>1，其他全是 1 时，别再按“异或归零”，而是调节“1”的个数，让对手在他回合面对“奇数个 1”。
- 设当前有 m 个“1”。若 m 为偶数，把那一堆减到 1（留下 m+1 个 1，奇数）；
- 若 m 为奇数，把那一堆直接拿空（留下 m 个 1，奇数）。 对手面对奇数个 1 时，必然最终拿到最后一个而输。
- 若某回合你一上来看到“全是 1”：偶数个 1 为必胜（拿走一个，留奇数给对手）；奇数个 1 为必败（对手完美不失误则你无解）。
从 3,5,7 的简洁必胜起手
- 任取其一，使异或归零：例如把 7 减到 6，局面变 3,5,6（异或为 0）；或把 5→4 得 3,4,7；或把 3→2 得 2,5,7。
示例一条完整思路
- 先手：3,5,7 → 3,5,6（使 S=0）。
- 若对手走 6→4，成 3,5,4。你按 Nim：3→1，得 1,5,4（S=0）。
- 若对手走 5→3，成 1,3,4。你走 4→2，得 1,3,2（S=0）。
- 若对手走 3→2，成 1,2,2。你走 1→0，得 0,2,2（S=0）。
- 若对手走 2→1，成 0,2,1。此时“只剩一堆>1 且 m=1（奇）”，套用例外：把 2 直接拿空，留 0,0,1 给对手。对手被迫拿最后一个而输。
牢记：一路保持“异或为 0”，直到只剩一堆>1，按上面的奇偶规则把它处理掉，就能立于不败之地。